№2. Решите уравнения: а) $(2^{x+4})^{x-3}=0{,}5^x\cdot4^{x-4}$; б) $3^{x-1}+3^x+3^{x+1}=13\cdot3^{x^2-7}$; в) $\frac{5^x-4}{5}=\frac{3-5^{x-1}}{2\cdot5^x}$; г) $2^{x^2+2x}\cdot3^{x^2+2x}=216^{x+2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: №2. Решите уравнения: а) $(2^{x+4})^{x-3}=0{,}5^x\cdot4^{x-4}$; б) $3^{x-1}+3^x+3^{x+1}=13\cdot3^{x^2-7}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Приведём обе части к основанию 2: $2^{(x+4)(x-3)}=2^{-x+2x-8}=2^{x-8}$. Следовательно, $(x+4)(x-3)=x-8$, откуда $x^2-4=0$.
Тогда $x=-2$ или $x=2$.
б) Вынесем $3^{x-1}$: $3^{x-1}(1+3+9)=13\cdot3^{x^2-7}$. Сокращаем на 13 и приравниваем показатели: $x-1=x^2-7$. Получаем $x^2-x-6=0$, то есть $(x-3)(x+2)=0$.
в) Обозначим $t=5^x$, где $t>0$. Тогда $5^{x-1}=t/5$, и уравнение принимает вид $(t-4)/5=(15-t)/(10t)$. Умножив на $10t$, получаем $2t(t-4)=15-t$, то есть $2t^2-7t-15=0$. Корни: $t=5$ и $t=-1$. Условию $t>0$ соответствует только $t=5$, поэтому $x=1$.
г) Объединим степени с основаниями 2 и 3: $6^{x^2+2x}=216^{x+2}=6^{3x+6}$. Значит, $x^2+2x=3x+6$, или $x^2-x-6=0$. Отсюда $(x-3)(x+2)=0$.

Ответ: а) $x=-2, 2$; б) $x=-2, 3$; в) $x=1$; г) $x=-2, 3$.

№2. Решите уравнения: а) \((2^{x+4})^{x-3}=0{,}5^x\cdot4^{x-4}\); б) \(3^{x-1}+3^x+3^{x+1}=13\cdot3^{x^2-7}\); в) \(\frac{5^x-4}{5}=\frac{3-5^{x-1}}{2\cdot5^x}\); г) \(2^{x^2+2x}\cdot3^{x^2+2x}=216^{x+2}\).