№3. Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5^x+5^y=30,\\x+y=3.\end{cases}\)

Из второго уравнения следует \(5^x\cdot5^y=5^{x+y}=5^3=125\).

Обозначим \(a=5^x\), \(b=5^y\). Тогда \(a+b=30\) и \(ab=125\). Числа \(a\) и \(b\) являются корнями уравнения \(z^2-30z+125=0\).

Дискриминант: \(D=30^2-4\cdot125=400\). Поэтому \(z=(30\pm20)/2\), то есть \(a,b\) равны 25 и 5 в любом порядке.

Следовательно, \(5^x=25\) и \(5^y=5\), что даёт \((x,y)=(2,1)\); либо наоборот, \((x,y)=(1,2)\). Обе пары удовлетворяют системе.

Ответ: \((2,1)\) и \((1,2)\).