2. Решите уравнения: а) \(x^4-6x^3+7x^2+18=0\); б) \(x^4+5x^3+5x^2-5x-6=0\).

а) Подставим очевидный целый корень \(x=3\): получаем ноль. Делением на \(x-3\) выделяем множитель:

\(x^4-6x^3+7x^2+18=(x-3)(x^3-3x^2-2x-6)\).

У кубического множителя рациональных корней нет. Чтобы найти его действительный корень, положим \(y=x-1\). Тогда уравнение принимает вид \(y^3-5y-10=0\), откуда

\(y=\sqrt[3]{5+\sqrt{550/27}}+\sqrt[3]{5-\sqrt{550/27}}\),

и, следовательно, \(x=1+\sqrt[3]{5+\sqrt{550/27}}+\sqrt[3]{5-\sqrt{550/27}}\approx3.905\). У кубического уравнения только один действительный корень, поэтому действительные решения исходного уравнения: \(x=3\) и это значение.

б) Подставим корень \(x=1\) и разделим многочлен на \(x-1\):

\(x^4+5x^3+5x^2-5x-6=(x-1)(x^3+6x^2+11x+6)\).

Кубический множитель раскладывается группировкой: \(x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)\).

Итак, \((x-1)(x+1)(x+2)(x+3)=0\).

Ответ: а) \(x=3\) или \(x\approx3.905\); б) \(x=-3,-2,-1,1\).