2. Рис. 5.99. В прямоугольном треугольнике ABC $ \angle C = 90° $, $ \angle A = 30° $, $ AC = 10 $ см, $ CD \perp AB $, $ DE \perp AC $. Найдите $ AE $.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Рис. 5.99. В прямоугольном треугольнике ABC $ \angle C = 90° $, $ \angle A = 30° $, $ AC = 10 $ см, \( CD \perp AB…$ Фото задания

2. Рис. 5.99. В прямоугольном треугольнике ABC $ \angle C = 90° $, $ \angle A = 30° $, $ AC = 10 $ см, $ CD \perp AB $, $ DE \perp AC $. Найдите $ AE $.

Accepted Answer

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

$ \angle C = 90° $, $ \angle A = 30° $.

Найдём $ \angle B = 180° - 90° - 30° = 60° $.

По определению тангенса в $ \triangle ABC $:

$ \tan A = \frac{BC}{AC} $

$ BC = AC \cdot \tan A = 10 \cdot \tan 30° = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} $ см.

В прямоугольном треугольнике ADE:

$ \angle AED = 90° $.

$ \angle C = 90° $, $ CD \perp AB $, $ DE \perp AC $.

$ \angle CDE = 90° $ (так как $ CD \perp AB $).

$ \angle DEC = 90° $ (так как $ DE \perp AC $).

Рассмотрим $ \triangle CDE $. $ \angle DCE $ - общий с $ \triangle ABC $. $ \angle C = 90° $.

Рассмотрим $ \triangle ADE $. $ \angle A = 30° $, $ \angle AED = 90° $.

В $ \triangle ADE $ найдём $ AE $:

$ \cos A = \frac{AE}{AD} $ - неизвестно $ AD $.

Рассмотрим $ \triangle ACD $. $ \angle ADC = 90° $. $ \angle A = 30° $.

$ AC = 10 $ см.

$ \cos A = \frac{AD}{AC} $

$ AD = AC \cdot \cos A = 10 \cdot \cos 30° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} $ см.

Теперь в $ \triangle ADE $:

$ AE = AD \cdot \cos A = 5\sqrt{3} \cdot \cos 30° = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 $ см.

Ответ: г) 7,5 см.

2. Рис. 5.99. В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90° \), \( \angle A = 30° \), \( AC = 10 \) см, \( CD \perp AB \), \( DE \perp AC \). Найдите \( AE \).

Ответ:

Решение: