3. Прямые a и b параллельны, c — секущая. Разность двух углов, образованных этими прямыми, равна 130°. Найдите отношение большего из этих углов к меньшему.

Решение:

Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — два угла, образованные параллельными прямыми \( a \) и \( b \) и секущей \( c \).

Известно, что разность углов равна 130°:

\( \alpha - \beta = 130° \).

Углы, образованные параллельными прямыми и секущей, бывают накрест лежащие, соответственные или односторонние.

Если углы являются накрест лежащими или соответственными, то они равны. В этом случае их разность равна 0°.

Следовательно, данные углы являются односторонними (или смежными, если они образуют развернутый угол).

Пусть \( \alpha \) — больший угол, \( \beta \) — меньший.

Случай 1: Углы односторонние.

Сумма односторонних углов равна 180°.

\( \alpha + \beta = 180° \)

Имеем систему уравнений:

\( \begin{cases} \alpha - \beta = 130° \\ \alpha + \beta = 180° \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( 2\alpha = 310° \)

\( \alpha = 155° \)

Тогда \( \beta = 180° - 155° = 25° \).

Проверим разность: \( 155° - 25° = 130° \). Верно.

Отношение большего к меньшему: \( \frac{\alpha}{\beta} = \frac{155°}{25°} = \frac{31}{5} = 6.2 \).

Случай 2: Углы смежные.

Если один из углов равен \( \alpha \), то смежный с ним угол равен \( 180° - \alpha \).

Пусть \( \alpha \) — больший угол, \( 180° - \alpha \) — меньший.

\( \alpha - (180° - \alpha) = 130° \)

\( \alpha - 180° + \alpha = 130° \)

\( 2\alpha = 310° \)

\( \alpha = 155° \)

Тогда меньший угол равен \( 180° - 155° = 25° \).

Отношение: \( \frac{155°}{25°} = 6.2 \).

Ответ: в) 6,2.