5. Хорда AB равна 18 см. OA и OB — радиусы окружности, причем \( \angle AOB = 90° \). Найдите расстояние от точки O до хорды AB.

Решение:

Так как \( OA \) и \( OB \) — радиусы окружности, \( OA = OB \). Треугольник \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

\( \angle AOB = 90° \), значит, \( \triangle AOB \) — прямоугольный равнобедренный треугольник.

По теореме Пифагора в \( \triangle AOB \):

\( OA^2 + OB^2 = AB^2 \)

Пусть \( R \) — радиус окружности. Тогда \( OA = OB = R \).

\( R^2 + R^2 = 18^2 \)

\( 2R^2 = 324 \)

\( R^2 = 162 \)

\( R = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2} \) см.

Расстояние от точки \( O \) до хорды \( AB \) — это длина перпендикуляра, опущенного из \( O \) на \( AB \). Пусть этот перпендикуляр — \( OH \).

В равнобедренном треугольнике \( \triangle AOB \) высота \( OH \) также является медианой.

Следовательно, \( H \) — середина хорды \( AB \), и \( AH = HB = \frac{18}{2} = 9 \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OHA \).

\( OA = R = 9\sqrt{2} \) см.

\( AH = 9 \) см.

По теореме Пифагора в \( \triangle OHA \):

\( OH^2 + AH^2 = OA^2 \)

\( OH^2 + 9^2 = (9\sqrt{2})^2 \)

\( OH^2 + 81 = 81 \cdot 2 \)

\( OH^2 + 81 = 162 \)

\( OH^2 = 162 - 81 \)

\( OH^2 = 81 \)

\( OH = \sqrt{81} = 9 \) см.

Альтернативный способ:

В прямоугольном равнобедренном треугольнике \( \triangle AOB \), высота \( OH \) к гипотенузе \( AB \) равна половине гипотенузы, если бы \( \angle AOB = 90° \) было углом при вершине, а \( AB \) - основанием. Но здесь \( AB \) - гипотенуза.

Площадь \( \triangle AOB \) можно найти двумя способами:

1. \( S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2} R^2 \).

2. \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH \).

Приравниваем площади:

\( \frac{1}{2} R^2 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH \)

\( R^2 = AB \cdot OH \)

Мы нашли \( R^2 = 162 \) и \( AB = 18 \).

\( 162 = 18 \cdot OH \)

\( OH = \frac{162}{18} = 9 \) см.

Ответ: в) 9 см.