2. Рис. 861. Дано: AB: AC = 5: 3. Найти: ∠BOC, ∠ABC.

1. Угол BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Угол BAC является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу.

2. Связь между центральным и вписанным углами: ∠BOC = 2 * ∠BAC.

3. Из рисунка видно, что ∠BAC = 60°. Следовательно, ∠BOC = 2 * 60° = 120°.

4. Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Угол AOC является центральным углом, опирающимся на дугу AC. ∠AOC = ∠BOC - ∠BOA. Так как AB:AC = 5:3, то дуга AB : дуга AC = 5:3. Угол BAC = 60°, значит, дуга BC = 120°. Пусть дуга AC = 3x, дуга AB = 5x. Тогда 3x + 5x + 120° = 360°. 8x = 240°, x = 30°. Дуга AC = 3 * 30° = 90°. Угол ABC = 1/2 * дуга AC = 1/2 * 90° = 45°.