2. Сечение цилиндра, параллельное его оси и удаленное от него на расстояние d, отсекает треть дуги окружности основания. Диагональ сечения образует с высотой цилиндра угол α. Найдите боковую поверхность цилиндра.

Сечение является прямоугольником. Хорда основания отсекает треть окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен \(120^\circ\).

Расстояние от центра основания до хорды:

\(d=r\cos60^\circ=\dfrac r2\), откуда \(r=2d\).

Длина хорды:

\(l=2r\sin60^\circ=\sqrt3r=2\sqrt3d\).

Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю сечения, \(\tan\alpha=\dfrac{l}{h}\). Поэтому

\(h=\dfrac{l}{\tan\alpha}=2\sqrt3d\cot\alpha\).

Тогда

\(S_{бок}=2\pi rh=2\pi\cdot2d\cdot2\sqrt3d\cot\alpha\).

Ответ: \(S_{бок}=8\sqrt3\pi d^2\cot\alpha\).