3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания. Найдите высоту и радиус цилиндра, если диагональ осевого сечения равна 4√5 см.

По условию:

\(2\pi rh=\pi r^2\).

Так как \(r>0\), получаем \(r=2h\).

Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \(2r\) и \(h\). По теореме Пифагора:

\((2r)^2+h^2=(4\sqrt5)^2=80\).

Подставим \(r=2h\):

\(4(2h)^2+h^2=80\),

\(17h^2=80\),

\(h=\sqrt{\dfrac{80}{17}}=4\sqrt{\dfrac5{17}}\) см.

Тогда \(r=2h=8\sqrt{\dfrac5{17}}\) см.

Ответ: \(h=4\sqrt{\dfrac5{17}}\) см, \(r=8\sqrt{\dfrac5{17}}\) см.