2) Сформулируйте и докажите свойство диагоналей прямоугольника.

Решение:

Свойство диагоналей прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Его диагонали — AC и BD.

1. Равенство диагоналей:

Рассмотрим треугольники ABC и BAD:

• AB — общая сторона.
• BC = AD (противоположные стороны прямоугольника).
• ∠ABC = ∠BAD = 90° (углы прямоугольника).

По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), △ABC = △BAD. Следовательно, AC = BD.

2. Диагонали делятся пополам в точке пересечения:

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольники AOB и COD:

• ∠ABO = ∠CDO (накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD).
• ∠BAO = ∠DCO (накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC).
• AB = CD (противоположные стороны прямоугольника).

По стороне и двум прилежащим углам (признак равенства треугольников), △AOB = △COD. Следовательно, AO = CO и BO = DO.

Аналогично, рассмотрев треугольники AOD и BOC, можно доказать, что AO = CO и BO = DO.

Из равенства AO = CO и BO = DO следует, что точка O является серединой обеих диагоналей, то есть диагонали делятся пополам в точке пересечения.

Ответ: Сформулировано и доказано свойство диагоналей прямоугольника: они равны и в точке пересечения делятся пополам.