1) Дайте определение секущей и касательной к окружности. Сформулируйте свойство касательной к окружности. 2) Сформулируйте и докажите свойство диагоналей прямоугольника.

1. Секущая и касательная к окружности:

• Секущая — прямая, которая имеет с окружностью две общие точки.
• Касательная — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку (точку касания).

Свойство касательной к окружности:

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Доказательство: Предположим, что касательная AB и радиус OC (O — центр окружности, C — точка касания) не перпендикулярны. Тогда из точки O можно провести перпендикуляр OD к прямой AB. Этот перпендикуляр будет короче радиуса OC (так как в прямоугольном треугольнике DOC гипотенуза OC больше катета OD). Точка D будет находиться внутри окружности. Через точку D можно провести еще одну прямую, пересекающую окружность в двух точках, что противоречит определению касательной (прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку). Следовательно, радиус OC перпендикулярен касательной AB.

2. Свойство диагоналей прямоугольника:

Свойство: Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Проведем диагонали AC и BD. Нам нужно доказать, что AC = BD и что они пересекаются в одной точке, которая делит их пополам.

Рассмотрим треугольники ABC и BAD:

• AB — общая сторона.
• BC = AD (противоположные стороны прямоугольника равны).
• ∠ABC = ∠BAD = 90° (углы прямоугольника).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ABC и BAD равны.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны AC и BD равны.

Теперь рассмотрим точку пересечения диагоналей, обозначим ее O. Рассмотрим треугольники AOB и COD:

• AB = CD (противоположные стороны прямоугольника равны).
• ∠BAO = ∠DCO (накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей AC).
• ∠ABO = ∠CDO (накрест лежащие углы при параллельных AB и CD и секущей BD).

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), треугольники AOB и COD равны.

Из равенства этих треугольников следует, что AO = CO и BO = DO. Это означает, что точка O делит диагонали AC и BD пополам.

Таким образом, диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.