2) Сформулируйте и докажите свойство отрезков пересекающихся хорд.

Свойство отрезков пересекающихся хорд: Если две хорды AB и CD пересекаются в точке P, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть AP · PB = CP · PD.

Доказательство:

1. Рассмотрим окружность и две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке P.
2. Соединим точки A и C, а также B и D.
3. Рассмотрим треугольники △ APC и △ DPB.
4. ∠ PAC = ∠ PDB, так как они опираются на одну дугу CB.
5. ∠ PCA = ∠ PBD, так как они опираются на одну дугу AD.
6. ∠ APC = ∠ DPB, так как это вертикальные углы.
7. Следовательно, △ APC ~ △ DPB по двум углам (или по трем).
8. Из подобия следует пропорциональность сторон: AP/DP = CP/PB.
9. Перемножив крест-накрест, получаем: AP · PB = CP · DP.

Теорема доказана.