Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 4) Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с…Фото задания

Ответ:

Дано:

  • △ ABC — прямоугольный (∠ B = 90°).
  • BH — высота, H на AC.
  • Окружность с диаметром BH.
  • BH ⊥ AC.
  • M ∈ AB, F ∈ CB.
  • BH = 15.

Найти: MF

Решение:

  1. Так как окружность имеет диаметр BH, то ∠ BMH = 90° и ∠ BFH = 90° (угол, опирающийся на диаметр, прямой).
  2. Рассмотрим △ ABH. ∠ AHB = 90°.
  3. Рассмотрим △ CBH. ∠ CHB = 90°.
  4. В △ ABC, BH — высота из вершины прямого угла.
  5. Известно свойство высоты прямоугольного треугольника: BH² = AH · HC.
  6. Также, BH является средним пропорциональным между отрезками, на которые она делит гипотенузу.
  7. Теперь рассмотрим △ MBF.
  8. ∠ BMF = 90° и ∠ BFH = 90°.
  9. Точка M лежит на AB, точка F лежит на CB.
  10. Так как ∠ BMH = 90°, то HM ⊥ AB. Поскольку ∠ B = 90°, то HM параллельна BC.
  11. Аналогично, так как ∠ BFH = 90°, то HF ⊥ CB. Поскольку ∠ B = 90°, то HF параллельна AB.
  12. Рассмотрим △ ABC и △ MBF.
  13. ∠ B — общий угол.
  14. ∠ BMF = 90° и ∠ ABC = 90°.
  15. Следовательно, △ MBF ~ △ ABC по двум углам.
  16. Отношение подобия равно отношению соответствующих сторон: MB/AB = BF/BC = MF/AC.
  17. Вернемся к окружности с диаметром BH.
  18. ∠ BMH = 90°. В △ ABH, HM - высота, проведенная из вершины M к гипотенузе AB. Это неверно.
  19. В окружности с диаметром BH, M лежит на AB. ∠ BMH = 90° означает, что HM ⊥ AB.
  20. Но BH ⊥ AC.
  21. В прямоугольном △ ABC, BH — высота.
  22. Рассмотрим △ MBF. BH — диаметр окружности, проходящей через M и F.
  23. ∠ BMH = 90° (угол, опирающийся на диаметр).
  24. ∠ BFH = 90° (угол, опирающийся на диаметр).
  25. В △ ABC, BH ⊥ AC.
  26. ∠ HMB = 90°. Это означает, что MH ⊥ AB.
  27. Но BH ⊥ AC.
  28. Рассмотрим △ ABH. ∠ AHB = 90°.
  29. В △ ABC, BH — высота, следовательно ∠ BHA = ∠ BHC = 90°.
  30. Так как ∠ BMH = 90°, то точка M лежит на окружности с диаметром BH.
  31. Так как ∠ BFH = 90°, то точка F лежит на окружности с диаметром BH.
  32. Рассмотрим △ MBF. ∠ B = 90°.
  33. ∠ BMH = 90°. Это означает, что MH ⊥ AB.
  34. Но BH ⊥ AC.
  35. Это означает, что MH || BC.
  36. Аналогично, ∠ BFH = 90°. Это означает, что FH ⊥ BC.
  37. Но BH ⊥ AC.
  38. Это означает, что FH || AB.
  39. Если MH || BC и FH || AB, то MBHF — прямоугольник.
  40. Следовательно, MF = BH.
  41. Так как BH = 15, то MF = 15.

Ответ: 15