4) Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках М и F соответственно. Найдите длину MF, если ВН=15.

Дано:

• △ ABC — прямоугольный (∠ B = 90°).
• BH — высота, H на AC.
• Окружность с диаметром BH.
• BH ⊥ AC.
• M ∈ AB, F ∈ CB.
• BH = 15.

Найти: MF

Решение:

1. Так как окружность имеет диаметр BH, то ∠ BMH = 90° и ∠ BFH = 90° (угол, опирающийся на диаметр, прямой).
2. Рассмотрим △ ABH. ∠ AHB = 90°.
3. Рассмотрим △ CBH. ∠ CHB = 90°.
4. В △ ABC, BH — высота из вершины прямого угла.
5. Известно свойство высоты прямоугольного треугольника: BH² = AH · HC.
6. Также, BH является средним пропорциональным между отрезками, на которые она делит гипотенузу.
7. Теперь рассмотрим △ MBF.
8. ∠ BMF = 90° и ∠ BFH = 90°.
9. Точка M лежит на AB, точка F лежит на CB.
10. Так как ∠ BMH = 90°, то HM ⊥ AB. Поскольку ∠ B = 90°, то HM параллельна BC.
11. Аналогично, так как ∠ BFH = 90°, то HF ⊥ CB. Поскольку ∠ B = 90°, то HF параллельна AB.
12. Рассмотрим △ ABC и △ MBF.
13. ∠ B — общий угол.
14. ∠ BMF = 90° и ∠ ABC = 90°.
15. Следовательно, △ MBF ~ △ ABC по двум углам.
16. Отношение подобия равно отношению соответствующих сторон: MB/AB = BF/BC = MF/AC.
17. Вернемся к окружности с диаметром BH.
18. ∠ BMH = 90°. В △ ABH, HM - высота, проведенная из вершины M к гипотенузе AB. Это неверно.
19. В окружности с диаметром BH, M лежит на AB. ∠ BMH = 90° означает, что HM ⊥ AB.
20. Но BH ⊥ AC.
21. В прямоугольном △ ABC, BH — высота.
22. Рассмотрим △ MBF. BH — диаметр окружности, проходящей через M и F.
23. ∠ BMH = 90° (угол, опирающийся на диаметр).
24. ∠ BFH = 90° (угол, опирающийся на диаметр).
25. В △ ABC, BH ⊥ AC.
26. ∠ HMB = 90°. Это означает, что MH ⊥ AB.
27. Но BH ⊥ AC.
28. Рассмотрим △ ABH. ∠ AHB = 90°.
29. В △ ABC, BH — высота, следовательно ∠ BHA = ∠ BHC = 90°.
30. Так как ∠ BMH = 90°, то точка M лежит на окружности с диаметром BH.
31. Так как ∠ BFH = 90°, то точка F лежит на окружности с диаметром BH.
32. Рассмотрим △ MBF. ∠ B = 90°.
33. ∠ BMH = 90°. Это означает, что MH ⊥ AB.
34. Но BH ⊥ AC.
35. Это означает, что MH || BC.
36. Аналогично, ∠ BFH = 90°. Это означает, что FH ⊥ BC.
37. Но BH ⊥ AC.
38. Это означает, что FH || AB.
39. Если MH || BC и FH || AB, то MBHF — прямоугольник.
40. Следовательно, MF = BH.
41. Так как BH = 15, то MF = 15.

Ответ: 15