4) В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

Дано:

• Равнобедренная трапеция ABCD
• AB = CD
• Высота h = 5
• Большее основание AD = 14
• Угол при основании ∠D = 45°

Найти:

Меньшее основание BC

Решение:

1. Проведем высоту CH из вершины C к основанию AD. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник △CHD. Угол ∠D = 45°, угол ∠CHD = 90°.
3. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠HCD = 180° - 90° - 45° = 45°.
4. Так как ∠D = ∠HCD = 45°, то △CHD — равнобедренный прямоугольный треугольник.
5. Следовательно, катеты равны: CH = HD.
6. Нам известна высота CH = 5. Значит, HD = 5.
7. В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, равны: AH = HD.
8. Большее основание AD = AH + HD + BC. (Это неверно, если рассматривать трапецию с двумя высотами).
9. Правильно: AD = AH + HD + BC, где AH и HD — отрезки, на которые большее основание делится проекциями боковых сторон.
10. В равнобедренной трапеции, если опустить две высоты из вершин B и C, то основания разделятся следующим образом: AD = BC + 2 * HD (или AH), где HD (или AH) - отрезок, образованный боковой стороной и высотой.
11. В нашем случае, HD = 5.
12. Большее основание AD = 14.
13. AD = BC + 2 * HD
14. 14 = BC + 2 * 5
15. 14 = BC + 10
16. BC = 14 - 10
17. BC = 4

Ответ: Меньшее основание равно 4.