6) Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ=16, DC=24, AC=25

Дано:

• AB || DC
• AC ∩ BD = M
• AB = 16
• DC = 24
• AC = 25

Найти:

MC

Решение:

1. Рассмотрим △ABM и △CDM.
2. Так как AB || DC, то ∠BAM = ∠DCM (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей AC).
3. Также ∠ABM = ∠CDM (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей BD).
4. ∠AMB = ∠CMD (как вертикальные углы).
5. Следовательно, △ABM ~ △CDM по двум углам (или по трем).
6. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:
7. \[ \frac{AB}{DC} = \frac{AM}{MC} = \frac{BM}{MD} \]
8. Подставим известные значения:
9. \[ \frac{16}{24} = \frac{AM}{MC} \]
10. Упростим дробь: \( \frac{16}{24} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{2}{3} \).
11. Значит, \( \frac{AM}{MC} = \frac{2}{3} \).
12. Из этого соотношения следует, что \( AM = \frac{2}{3} MC \).
13. Также известно, что AC = AM + MC.
14. Подставим выражение для AM:
15. \[ 25 = \frac{2}{3} MC + MC \]
16. Приведем к общему знаменателю:
17. \[ 25 = \frac{2}{3} MC + \frac{3}{3} MC \]
18. \[ 25 = \frac{5}{3} MC \]
19. Выразим MC:
20. \[ MC = 25 \times \frac{3}{5} \]
21. \[ MC = \frac{75}{5} \]
22. \[ MC = 15 \]

Ответ: MC = 15.