2) Сформулируйте признаки параллелограмма. (Докажите один из них по выбору)

Признаки параллелограмма:

1. Если у четырехугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
2. Если у четырехугольника две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
3. Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
4. Если у четырехугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство (по второму признаку):

Дано: Четырехугольник ABCD, AB || DC, AB = DC.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
• 1) AB = CD (по условию).
• 2) AC — общая сторона.
• 3) Угол BAC = Угол ACD (как накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущей AC).
3. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ABC и CDA равны.
4. Из равенства треугольников следует, что BC = AD (как соответствующие стороны равных треугольников).
5. Так как AB || DC (по условию) и BC = AD (доказано), то четырехугольник ABCD является параллелограммом по второму признаку параллелограмма.