2) Сформулируйте теоремы о средней линии треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору.

Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Теорема о средней линии трапеции: средняя линия трапеции, соединяющая середины её боковых сторон, параллельна основаниям и равна полусумме оснований.

Доказательство теоремы о средней линии треугольника.

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Пусть \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\).
2. Тогда \(AM=MB\) и \(AN=NC\), поэтому \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac12\).
3. По обратной теореме Фалеса отрезок \(MN\) параллелен стороне \(BC\).
4. Треугольники \(AMN\) и \(ABC\) подобны по двум углам.
5. Коэффициент подобия равен \(\dfrac12\), следовательно, \(MN=\dfrac12BC\).

Вывод: \(MN\parallel BC\) и \(MN=\dfrac12BC\).