2. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали. Значит, диагональ прямоугольника \( d = 10 \).

Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( a \) и диагональю \( d \). По условию \( \sin \alpha = 0.8 \).

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами \( a \), \( b \) и диагональю \( d \), имеем:

\( \sin \alpha = \frac{b}{d} \) (где \( b \) — сторона, противолежащая углу \( \alpha \)).

\( 0.8 = \frac{b}{10} \) \(\implies\) \( b = 0.8 \times 10 = 8 \).

Найдем вторую сторону \( a \) по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = d^2 \)

\( a^2 + 8^2 = 10^2 \)

\( a^2 + 64 = 100 \)

\( a^2 = 100 - 64 = 36 \)

\( a = \sqrt{36} = 6 \).

Площадь прямоугольника \( S = a \times b \).

\( S = 6 \times 8 = 48 \).

Ответ: 48