2. Сколько существует троек натуральных чисел \((a;b;c)\), таких, что они образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а их произведение равно \(2^{150}\cdot3^{300}\)?

В геометрической прогрессии из трёх членов средний член удовлетворяет равенству \(b^2=ac\). Поэтому произведение членов равно \(abc=b^3\).

Из условия \(b^3=2^{150}\cdot3^{300}\), следовательно, \(b=2^{50}\cdot3^{100}\).

Для каждого натурального делителя \(a\) числа \(b^2=2^{100}\cdot3^{200}\) однозначно определяется натуральное число \(c=b^2/a\). Тогда \((a;b;c)\) — геометрическая прогрессия, и все подходящие тройки получаются именно так.

Число делителей \(b^2\) равно \((100+1)(200+1)=101\cdot201=20301\).

Ответ: 20301 тройка.