2. Сократите дробь: а) \(\dfrac{x^{0.5}-x^{1.5}}{1-x}\); б) \(\dfrac{4-a^{\frac{2}{3}}}{2+a^{\frac{1}{3}}}\).

а) Вынесем \(x^{0.5}\) в числителе и используем разность квадратов: \(x^{1.5}=x^{0.5}x\), поэтому

\(\dfrac{x^{0.5}-x^{1.5}}{1-x}=\dfrac{x^{0.5}(1-x)}{1-x}=\sqrt{x}\).

Для действительных степеней требуется \(x\ge 0\), а исходная дробь определена при \(x\ne1\).

б) Представим числитель как разность квадратов:

\(4-a^{\frac{2}{3}}=(2-a^{\frac{1}{3}})(2+a^{\frac{1}{3}})\).

При \(2+a^{\frac{1}{3}}\ne0\) сокращаем общий множитель:

\(\dfrac{4-a^{\frac{2}{3}}}{2+a^{\frac{1}{3}}}=2-a^{\frac{1}{3}}\).

Ответ: а) \(\sqrt{x}\), где \(x\ge0, x\ne1\); б) \(2-a^{\frac{1}{3}}\), где \(a\ne-8\).