2. \(\sqrt{x-2+2\sqrt{x+6}}=4\)

Область определения: \(x\ge2\). Возведём обе части в квадрат:

\(x-2+2\sqrt{x+6}=16\),
\(x+2\sqrt{x+6}=18\).

Положим \(t=\sqrt{x+6}\), тогда \(t\ge0\) и \(x=t^2-6\). Подставим:

\(t^2-6+2t=18\),
\(t^2+2t-24=0\),
\((t+6)(t-4)=0\).

С учётом \(t\ge0\), получаем \(t=4\). Тогда \(x=4^2-6=10\). Проверка: \(\sqrt{10-2+2\sqrt{10+6}}=\sqrt{8+8}=4\).

Ответ: \(x=10\).