3. \(\sqrt{3x+12}-\sqrt{x+1}=\sqrt{4x+13}\)

Область определения: \(x\ge-1\). Сделаем замену \(a=\sqrt{x+1}\), поэтому \(a\ge0\) и \(x=a^2-1\). Тогда уравнение принимает вид:

\(\sqrt{3a^2+9}-a=\sqrt{4a^2+9}\).

Перенесём \(a\) вправо и возведём обе части в квадрат. Обе части неотрицательны, поэтому преобразование равносильно:

\(\sqrt{3a^2+9}=a+\sqrt{4a^2+9}\),
\(3a^2+9=a^2+(4a^2+9)+2a\sqrt{4a^2+9}\),
\(0=2a^2+2a\sqrt{4a^2+9}\).

При \(a\ge0\) это равенство возможно только при \(a=0\). Следовательно, \(\sqrt{x+1}=0\), откуда \(x=-1\). Проверка: \(\sqrt9-\sqrt0=\sqrt9\), то есть \(3=3\).

Ответ: \(x=-1\).