2. Теорема о вписанном угле, доказательство.

Теорема: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, или равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пусть \(\angle ABC\) — вписанный угол окружности, а \(A\) и \(C\) — точки окружности. Проведём радиусы \(OA\), \(OB\), \(OC\).

1. Рассмотрим сначала случай, когда центр окружности \(O\) лежит внутри угла \(ABC\). Тогда \(\angle ABC=\angle ABO+\angle OBC\).
2. Треугольники \(AOB\) и \(BOC\) равнобедренные, так как \(OA=OB=OC\). Поэтому углы при основании попарно равны.
3. Из суммы углов треугольников получаем: \(\angle ABO=\frac{180^\circ-\angle AOB}{2}\), \(\angle OBC=\frac{180^\circ-\angle BOC}{2}\).
4. Следовательно, \(\angle ABC=180^\circ-\frac{\angle AOB+\angle BOC}{2}\).
5. Так как \(\angle AOC=360^\circ-(\angle AOB+\angle BOC)\), то \(\angle ABC=\frac{\angle AOC}{2}\).
6. В случаях, когда центр окружности лежит вне угла или на его стороне, рассуждение проводится аналогично с использованием разности соответствующих углов.

Таким образом, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Что и требовалось доказать.