2. Тип 15 № 339390. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому \(AM=MC=84:2=42\).

Обозначим \(AH=x\), а высоту \(BH=h\). Тогда \(HC=84-x\), а \(HM=x-42\).

По теореме Пифагора и условию \(BC=BM\):

\((84-x)^2+h^2=(x-42)^2+h^2\).

Сократим одинаковые слагаемые и решим уравнение: \((84-x)^2=(x-42)^2\), откуда \(84-x=x-42\), следовательно, \(x=63\). (Второй вариант равенства оснований квадратов даёт противоречие.)

Ответ: 63.