2. Тип 15 В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 73 и ВС = ВМ. Найдите АН.

Решение:

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. По условию, \( BC = BM \). Это означает, что треугольник АВC равнобедренный с основанием АС, если точка М лежит на АС, но ВМ — медиана, значит, М — середина АС. Треугольник ВСМ — равнобедренный.

Если \( BC = BM \), то \( \triangle BCM \) равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle BCM = \angle BМC \).

В \( \triangle BHC \) угол \( \angle BHC = 90^{\circ} \). \( BH \) — высота.

Так как \( BM \) — медиана, то \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{73}{2} = 36.5 \).

Рассмотрим \( \triangle BHC \). \( BH^2 + HC^2 = BC^2 \).

Рассмотрим \( \triangle BHM \). \( BH^2 + HM^2 = BM^2 \).

Поскольку \( BC = BM \), то \( BH^2 + HC^2 = BH^2 + HM^2 \), следовательно, \( HC^2 = HM^2 \), что означает \( HC = HM \).

Точка M — середина AC. \( MC = 36.5 \).

Если \( HC = HM \), то либо H совпадает с M (т.е. ВМ — высота), либо M — середина отрезка HC.

Если ВМ — высота, то \( BM \perp AC \). Так как ВМ — медиана, то \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием АС. Значит \( AB = BC \).

Из условия \( BC = BM \). Если \( BM \) — высота, то \( BM = AB \). В прямоугольном \( \triangle ABH \), гипотенуза \( AB \) не может быть равна катету \( BH \) (если \( AH \) > 0). Значит, \( BM \) не является высотой. Следовательно, H находится между M и C.

\( HC = HM \). M — середина AC. \( MC = 36.5 \).

\( HM = MC - HC \).

\( HC = MC - HC \)
\( 2HC = MC \)
\( HC = \frac{MC}{2} = \frac{36.5}{2} = 18.25 \).

\( AH = AM - HM \) или \( AH = AM + MH \).

\( AH = AC - HC = 73 - 18.25 = 54.75 \).

\( AH = AM - HM = 36.5 - 18.25 = 18.25 \).

Поскольку \( AH \) должно быть положительным, \( AH = 18.25 \).

Ответ: 18.25