2. Точка A лежит на прямой, отрезок BC пересекает эту прямую. Пусть M — произвольная точка на отрезке AB. Докажите, что отрезок CM обязательно пересечёт данную прямую.

Обозначим данную прямую через ℓ.

Если C лежит на ℓ, отрезок CM уже имеет общую точку с ℓ — точку C. Если C не лежит на ℓ, поскольку BC пересекает ℓ, точки B и C находятся по разные стороны от ℓ (либо B лежит на ℓ).

Если B лежит на ℓ, то A и B лежат на ℓ, а значит, весь отрезок AB, включая M, лежит на ℓ. Тогда CM пересекает ℓ в точке M.

Если B не лежит на ℓ, точка M на отрезке AB либо совпадает с A и лежит на ℓ, либо находится по ту же сторону от ℓ, что и B. В первом случае CM пересекает ℓ в точке M; во втором его концы C и M расположены по разные стороны от ℓ, поэтому отрезок CM пересекает ℓ.

Ответ: отрезок CM обязательно пересекает данную прямую.