3. На плоскости отметили 11 точек и попарно соединили их отрезками. Прямая не проходит ни через одну из этих точек. Какое наибольшее число полученных отрезков она может пересекать?

Шаг 1. Прямая делит 11 точек на две группы: по разные стороны от неё. Пусть в группах соответственно a и 11 − a точек.

Шаг 2. Отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы лежат по разные стороны от неё. Поэтому число пересекаемых отрезков равно числу пар точек из разных групп: a(11 − a).

Шаг 3. Это произведение максимально, когда группы отличаются на 1: 5 и 6 точек. Тогда число пересечений равно 5 · 6 = 30. Такое разделение можно получить прямой, не проходящей через точки.

Ответ: 30 отрезков.