2. Точка D лежит на отрезке AB, причём BD : BA = 1 : 4. Через точку A проведена плоскость α, а через точку D — отрезок DD₁, параллельный α. Прямая BD₁ пересекает плоскость α в точке C. а) Докажите подобие треугольников DBD₁ и ABC. б) Найдите DD₁, если AC = 12 см.

а) Рассмотрим треугольники \(DBD_1\) и \(ABC\).

1. Точки \(A\), \(D\), \(B\) лежат на одной прямой, поэтому лучи \(BD\) и \(BA\) совпадают.
2. Точки \(B\), \(D_1\), \(C\) лежат на одной прямой, поэтому лучи \(BD_1\) и \(BC\) совпадают.
3. Плоскость, проходящая через прямые \(BD\) и \(DD_1\), пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(AC\). Так как \(DD_1\parallel\alpha\), то \(DD_1\parallel AC\).
4. Следовательно, \(\angle BDD_1=\angle BAC\), а \(\angle BD_1D=\angle BCA\).

По двум углам \(\triangle DBD_1\sim\triangle ABC\).

б) Из подобия треугольников:

\[\frac{DD_1}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{1}{4}.\]

Подставим \(AC=12\) см:

\[DD_1=12\cdot\frac{1}{4}=3\text{ см}.\]

Ответ: \(\triangle DBD_1\sim\triangle ABC\); \(DD_1=3\) см.