2. Точка M не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. На отрезке AM выбрана точка E так, что ME : EA = 2 : 3. а) Постройте точку F — точку пересечения прямой MB с плоскостью (CDE). б) Найдите AB, если EF = 10 см.

а) Проведём прямую MB. Проведём в плоскости ABCD прямую через B, параллельную CD; пусть её пересечение с DE — точка P. Поскольку CD параллельна AB, BP ∥ AB. Плоскости (CDE) и (ABM) пересекаются по прямой EP: точки E и P принадлежат обеим плоскостям. Искомая точка — F = MB ∩ EP.

На схеме P не подписана: это точка пересечения DE с прямой через B, параллельной CD. Тогда EP — линия пересечения плоскостей (CDE) и (ABM), а F — её пересечение с MB.

б) Из ME : EA = 2 : 3 следует AE : AM = 3 : 5. В треугольнике MAB отрезок EF параллелен AB: это следует из построения через пересечение плоскости (CDE) с плоскостью (ABM), поскольку CD ∥ AB. Поэтому треугольники MEF и MAB подобны, и EF/AB = ME/MA = 2/5.

Следовательно, AB = EF · 5/2 = 10 · 5/2 = 25 см.

Ответ: а) F = MB ∩ EP, где P = DE ∩ (прямая через B, параллельная CD); б) 25 см.