3. Плоскости α и β пересекаются по прямой l, которая является скрещивающейся с прямой a. Докажите, что прямая a не пересекает хотя бы одну из плоскостей α и β.

Предположим противное: прямая a пересекает обе плоскости α и β. Так как a скрещивается с l, она не пересекает l, а значит, не проходит через общую точку плоскостей.

Пусть X = a ∩ α и Y = a ∩ β. Поскольку X не принадлежит β, а Y не принадлежит α, точки X и Y различны. Тогда прямая a, соединяющая X и Y, лежит в плоскости, проходящей через X и Y; однако две точки X и Y принадлежат плоскости α ∪ β по отдельности, но это само по себе не задаёт общей плоскости. Используем теорему: если прямая пересекает две пересекающиеся плоскости, то она пересекает их линию пересечения. Действительно, прямая a вместе с точками X и Y образует прямую, пересекающую α и β, поэтому она должна пересечь l. Это противоречит условию, что a и l скрещиваются.

Следовательно, предположение неверно: прямая a не может пересекать обе плоскости.

Что и требовалось доказать.