2. Точка M не лежит в плоскости трапеции ABCD (AD ∥ BC). а) Докажите, что треугольники MAD и MBC имеют параллельные средние линии. б) Найдите длины этих средних линий, если AD : BC = 5 : 3, а средняя линия трапеции равна 16 см.

а) Обозначим через E и F середины MA и MD, а через G и H — середины MB и MC. В треугольнике MAD отрезок EF — средняя линия, поэтому EF ∥ AD. В треугольнике MBC отрезок GH — средняя линия, поэтому GH ∥ BC. Так как AD ∥ BC, то EF ∥ GH. Следовательно, средние линии треугольников MAD и MBC параллельны.

б) Пусть AD = 5x, BC = 3x. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\(\dfrac{AD+BC}{2}=16\), поэтому \(AD+BC=32\).

Тогда \(5x+3x=32\), откуда \(x=4\). Значит, AD = 20 см, BC = 12 см. Средняя линия треугольника MAD равна половине AD: \(20:2=10\) см. Средняя линия треугольника MBC равна половине BC: \(12:2=6\) см.

Ответ: длины средних линий — 10 см и 6 см.