2. Точки А(-3; -5) и В(-3; 1) являются вершинами прямоугольника ABCD, а точка Р(4; -2) — точкой пересечения его диагоналей. а) Постройте прямоугольник ABCD. б) Найдите координаты вершин С и Д. в) Найдите периметр и площадь прямоугольника, если единичный отрезок равен 1 см.

Решение:

1. Определение координат вершин C и D:

1. Диагонали прямоугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка P(4; -2) является серединой диагоналей AC и BD.
2. Находим координаты вершины C: P - середина AC. Пусть C(x; y). Тогда:
• \[ \frac{-3 + x}{2} = 4 \implies -3 + x = 8 \implies x = 11 \]
• \[ \frac{-5 + y}{2} = -2 \implies -5 + y = -4 \implies y = 1 \]
• Итак, C(11; 1).
3. Находим координаты вершины D: P - середина BD. Пусть D(x; y). Тогда:
• \[ \frac{-3 + x}{2} = 4 \implies -3 + x = 8 \implies x = 11 \]
• \[ \frac{1 + y}{2} = -2 \implies 1 + y = -4 \implies y = -5 \]
• Итак, D(11; -5).

2. Построение прямоугольника ABCD:

Отметьте на координатной плоскости точки A(-3; -5), B(-3; 1), C(11; 1) и D(11; -5). Соедините их отрезками, чтобы получить прямоугольник.

3. Периметр и площадь прямоугольника:

1. Длина стороны AB (параллельна оси y):
• \[ AB = |1 - (-5)| = |1 + 5| = 6 \text{ см} \]
2. Длина стороны BC (параллельна оси x):
• \[ BC = |11 - (-3)| = |11 + 3| = 14 \text{ см} \]
3. Периметр прямоугольника:
• \[ P = 2(AB + BC) = 2(6 + 14) = 2(20) = 40 \text{ см} \]
4. Площадь прямоугольника:
• \[ S = AB \times BC = 6 \times 14 = 84 \text{ см}^2 \]

Ответ:

• Координаты вершин: C(11; 1), D(11; -5).
• Периметр прямоугольника: 40 см.
• Площадь прямоугольника: 84 см².