2. Точки A и B лежат в плоскости α, а точки C и D — в плоскости β, причём α ∥ β, AB = CD, а отрезки AC и BD пересекаются. а) Докажите, что AD ∥ BC. б) Один из углов четырёхугольника ABCD равен 130°. Найдите остальные углы.

а) Пересекающиеся отрезки AC и BD лежат в одной плоскости, поэтому точки A, B, C, D компланарны. Плоскость четырёхугольника пересекает параллельные плоскости α и β по прямым AB и CD; следовательно, AB ∥ CD. По условию AB = CD. Значит, в четырёхугольнике ABCD одна пара противоположных сторон равна и параллельна, поэтому ABCD — параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны параллельны, откуда AD ∥ BC.

б) В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

Угол, противоположный углу 130°, также равен 130°. Два соседних угла равны 180° − 130° = 50°.

Ответ: остальные углы равны 130°, 50° и 50°.