2. Точки K, L, M, N, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги KL, LM, MN и NK, градусные величины которых относятся соответственно как 5 : 3 : 7 : 9. Найдите угол K четырёхугольника KLMN. Ответ дайте в градусах.

Задание 2. Углы вписанного четырёхугольника

Дано:

• Четырёхугольник KLMN вписан в окружность.
• Дуги KL, LM, MN, NK относятся как 5 : 3 : 7 : 9.

Найти: угол K четырёхугольника KLMN.

Решение:

1. Общая градусная мера окружности равна 360°.
2. Пусть градусные меры дуг равны \( 5x, 3x, 7x, 9x \).
3. Сумма этих частей равна полной окружности: \[ 5x + 3x + 7x + 9x = 360^\circ \]
4. Сложим все части: \[ 24x = 360^\circ \]
5. Найдём \( x \): \[ x = \frac{360^\circ}{24} = 15^\circ \]
6. Теперь найдём градусные меры дуг:
   • Дуга KL = \( 5x = 5 × 15^\circ = 75^\circ \)
   • Дуга LM = \( 3x = 3 × 15^\circ = 45^\circ \)
   • Дуга MN = \( 7x = 7 × 15^\circ = 105^\circ \)
   • Дуга NK = \( 9x = 9 × 15^\circ = 135^\circ \)
7. Угол K четырёхугольника KLMN является вписанным углом, который опирается на дугу LMN.
8. Градусная мера дуги LMN равна сумме дуг LM и MN: \[ ¸ LMN = ¸ LM + ¸ MN = 45^\circ + 105^\circ = 150^\circ \]
9. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: \[ ∠ K = ¸ LMN / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ \]

Ответ: 75°.