4. Около прямоугольного треугольника PQR с прямым углом Q описана окружность. Из вершины Q тпроведена высота QH к гипотенузе PR. Найдите ∠PQH, если ∠R=47°.

Задание 4. Прямоугольный треугольник и высота

Дано:

• Прямоугольный треугольник PQR, \( ∠ Q = 90^\circ \).
• Около треугольника описана окружность.
• QH — высота, проведённая к гипотенузе PR.
• \( ∠ R = 47^\circ \).

Найти: \( ∠ PQH \).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике PQR сумма углов равна 180°. Так как \( ∠ Q = 90^\circ \) и \( ∠ R = 47^\circ \), то \( ∠ P = 180^\circ - 90^\circ - 47^\circ = 43^\circ \).

2. QH — высота, значит, \( ∠ QHP = 90^\circ \) и \( ∠ QHR = 90^\circ \).

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник PQR. В нём \( ∠ Q = 90^\circ \) и \( ∠ R = 47^\circ \).

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник QHR. В нём \( ∠ QHR = 90^\circ \) и \( ∠ R = 47^\circ \). Сумма углов в этом треугольнике равна 180°, поэтому \( ∠ PQH = 180^\circ - 90^\circ - 47^\circ = 43^\circ \).

Важное замечание: Условие про описанную окружность в данном случае избыточно, так как для решения задачи достаточно свойств прямоугольного треугольника и его высоты.

Ответ: 43°.