5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ADB = 62°, ∠ACD = 54°, ∠CBD = 27°.

Задание 5. Углы вписанного четырёхугольника

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• \( ∠ ADB = 62^\circ \)
• \( ∠ ACD = 54^\circ \)
• \( ∠ CBD = 27^\circ \)

Найти: углы четырёхугольника ABCD (\( ∠ A, ∠ B, ∠ C, ∠ D \)).

Решение:

Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

1. Найдем \( ∠ ABD \) и \( ∠ ABC \):

• \( ∠ ABD = ∠ ACD = 54^\circ \) (опираются на дугу AD).
• \( ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ CBD = 54^\circ + 27^\circ = 81^\circ \).

2. Найдем \( ∠ BAC \) и \( ∠ BDC \):

• \( ∠ BAC = ∠ CBD = 27^\circ \) (опираются на дугу BC).
• \( ∠ BDC = ∠ BAC = 27^\circ \) (опираются на дугу BC).

3. Найдем \( ∠ CAD \) и \( ∠ CBD \):

• \( ∠ CAD = ∠ CBD = 27^\circ \) (опираются на дугу CD).
• \( ∠ CAD = ∠ CBD = 27^\circ \) (опираются на дугу CD).

4. Найдем \( ∠ ACB \) и \( ∠ ADB \):

• \( ∠ ACB = ∠ ADB = 62^\circ \) (опираются на дугу AB).

5. Теперь можем найти углы четырёхугольника ABCD:

• \( ∠ A = ∠ BAC + ∠ CAD = 27^\circ + 27^\circ = 54^\circ \).
• \( ∠ B = ∠ ABC = 81^\circ \) (найдено ранее).
• \( ∠ C = ∠ ACB + ∠ ACD = 62^\circ + 54^\circ = 116^\circ \).
• \( ∠ D = ∠ ADB + ∠ BDC = 62^\circ + 27^\circ = 89^\circ \).

Проверка: Сумма углов вписанного четырёхугольника должна быть 360°.

\[ 54^\circ + 81^\circ + 116^\circ + 89^\circ = 340^\circ \]

Ошибка в расчётах или в условии. Давайте пересчитаем.

Пересчёт:

1. \( ∠ B = ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ CBD \)

\( ∠ ABD = ∠ ACD = 54^\circ \) (опираются на дугу AD)

\( ∠ ABC = 54^\circ + 27^\circ = 81^\circ \)

2. \( ∠ C = ∠ ACB + ∠ ACD \)

\( ∠ ACB = ∠ ADB = 62^\circ \) (опираются на дугу AB)

\( ∠ C = 62^\circ + 54^\circ = 116^\circ \)

3. \( ∠ D = ∠ ADB + ∠ BDC \)

\( ∠ ADB = 62^\circ \) (дано)

\( ∠ BDC = ∠ BAC \)

\( ∠ BAC = ∠ CBD = 27^\circ \) (опираются на дугу BC)

\( ∠ BDC = 27^\circ \)

\( ∠ D = 62^\circ + 27^\circ = 89^\circ \)

4. \( ∠ A = ∠ BAC + ∠ CAD \)

\( ∠ BAC = 27^\circ \) (найдено выше)

\( ∠ CAD = ∠ CBD = 27^\circ \) (опираются на дугу CD)

\( ∠ A = 27^\circ + 27^\circ = 54^\circ \)

Проверка:

\[ ∠ A + ∠ C = 54^\circ + 116^\circ = 170^\circ \]

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника должна быть 180°. Значит, есть ошибка либо в условии, либо в моих рассуждениях.

Давайте пересмотрим, какие углы опираются на какие дуги:

\( ∠ ADB = 62^\circ \) — опирается на дугу AB.

\( ∠ ACB = ∠ ADB = 62^\circ \)

\( ∠ ACD = 54^\circ \) — опирается на дугу AD.

\( ∠ ABD = ∠ ACD = 54^\circ \)

\( ∠ CBD = 27^\circ \) — опирается на дугу CD.

\( ∠ CAD = ∠ CBD = 27^\circ \)

Теперь соберём углы четырёхугольника:

\( ∠ A = ∠ BAC + ∠ CAD \)

\( ∠ BAC \) опирается на дугу BC.

\( ∠ BDC \) опирается на дугу BC.

\( ∠ BAC = ∠ BDC \)

\( ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ CBD = 54^\circ + 27^\circ = 81^\circ \).

\( ∠ C = ∠ ACB + ∠ ACD = 62^\circ + 54^\circ = 116^\circ \).

\( ∠ D = ∠ ADB + ∠ BDC = 62^\circ + ∠ BDC \).

Из \( ∠ A + ∠ C = 180^\circ \) => \( ∠ A = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ \).

Из \( ∠ B + ∠ D = 180^\circ \) => \( ∠ D = 180^\circ - 81^\circ = 99^\circ \).

Теперь найдём \( ∠ BAC \) и \( ∠ BDC \).

\( ∠ A = ∠ BAC + ∠ CAD \) => \( 64^\circ = ∠ BAC + 27^\circ \) => \( ∠ BAC = 64^\circ - 27^\circ = 37^\circ \).

Так как \( ∠ BAC = ∠ BDC \), то \( ∠ BDC = 37^\circ \).

Проверим \( ∠ D \): \( ∠ D = ∠ ADB + ∠ BDC = 62^\circ + 37^\circ = 99^\circ \). Это совпадает с \( 180^− 81 = 99 \).

Итак, углы четырёхугольника:

• \( ∠ A = 64^\circ \)
• \( ∠ B = 81^\circ \)
• \( ∠ C = 116^\circ \)
• \( ∠ D = 99^\circ \)

Ответ: ∠A = 64°, ∠B = 81°, ∠C = 116°, ∠D = 99°.