2. Точки В(-12; 5) и С(4; 5) являются вершинами прямоугольника ABCD, а точка К(-4; 2) — точкой пересечения его диагоналей. а) Постройте прямоугольник ABCD. б) Найдите координаты вершин А и Д. в) Найдите периметр и площадь прямоугольника, если единичный отрезок равен 1 см.

Привет! Давай найдем все про этот прямоугольник. Держи решение по пунктам:

1. Строим прямоугольник ABCD.

   Нам даны две вершины прямоугольника: B(-12; 5) и C(4; 5). Также дана точка пересечения диагоналей K(-4; 2). Диагонали прямоугольника пересекаются в одной точке и делятся пополам. Это значит, что точка K является серединой диагоналей AC и BD.

2. Находим координаты вершин А и Д.

   Находим вершину A:

   Так как K(-4; 2) — середина диагонали AC, используем формулу середины отрезка. Пусть координаты A будут $$(x_A, y_A)$$.

   Формула середины отрезка: $$K = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right)$$

   Подставим известные значения:

   \[ -4 = \frac{x_A + 4}{2} \]

   \[ -8 = x_A + 4 \]

   \[ x_A = -8 - 4 = -12 \]

   \[ 2 = \frac{y_A + 5}{2} \]

   \[ 4 = y_A + 5 \]

   \[ y_A = 4 - 5 = -1 \]

   Значит, координата вершины A: (-12; -1).

   Находим вершину Д:

   Аналогично, K(-4; 2) — середина диагонали BD. Пусть координаты D будут $$(x_D, y_D)$$.

   \[ -4 = \frac{x_D + (-12)}{2} \]

   \[ -8 = x_D - 12 \]

   \[ x_D = -8 + 12 = 4 \]

   \[ 2 = \frac{y_D + 5}{2} \]

   \[ 4 = y_D + 5 \]

   \[ y_D = 4 - 5 = -1 \]

   Значит, координата вершины Д: (4; -1).

   Проверка: У нас получились точки A(-12; -1) и D(4; -1). Обрати внимание, что у точек B(-12; 5) и A(-12; -1) одинаковая координата x, а у точек C(4; 5) и D(4; -1) — одинаковая координата x. Также у точек B(-12; 5) и C(4; 5) одинаковая координата y, а у точек A(-12; -1) и D(4; -1) — одинаковая координата y. Это подтверждает, что у нас получился прямоугольник.

3. Находим периметр и площадь прямоугольника.

   Единичный отрезок равен 1 см.

   Найдем длину сторон прямоугольника:

   Длина стороны BC (или AD):

   Так как y-координаты у B и C одинаковые, длина находится как разность x-координат:

   \[ BC = |4 - (-12)| = |4 + 12| = 16 \] см.

   Длина стороны AB (или CD):

   Так как x-координаты у B и A одинаковые, длина находится как разность y-координат:

   \[ AB = |5 - (-1)| = |5 + 1| = 6 \] см.

   Периметр прямоугольника (P):

   Формула периметра: $$P = 2 \times (a + b)$$

   \[ P = 2 \times (16 + 6) = 2 \times 22 = 44 \] см.

   Площадь прямоугольника (S):

   Формула площади: $$S = a \times b$$

   \[ S = 16 \times 6 = 96 \] см².

Ответ:

• а) Прямоугольник ABCD построен.
• б) Координаты вершин: A(-12; -1), Д(4; -1).
• в) Периметр прямоугольника: 44 см. Площадь прямоугольника: 96 см².