№ 2. Треугольник ABC и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причём KP ∥ MN, EF ∥ AC. а) Докажите, что AC ∥ KP. б) Найдите KP и MN, если KP : MN = 3 : 5, AC = 16 см.

а) По условию EF ∥ AC. Так как EF — средняя линия трапеции KMNP, она параллельна её основаниям, в частности EF ∥ KP. Две прямые, параллельные одной и той же прямой EF, параллельны между собой. Следовательно, AC ∥ KP.

б) EF — средняя линия треугольника ABC, поэтому EF = AC : 2 = 16 : 2 = 8 см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\(EF = (KP + MN) : 2\), значит \(KP + MN = 2 \cdot 8 = 16\) см.

Пусть KP = 3x, MN = 5x. Тогда 3x + 5x = 16, откуда 8x = 16 и x = 2 см. Следовательно, KP = 3 · 2 = 6 см, MN = 5 · 2 = 10 см.

Ответ: а) AC ∥ KP; б) KP = 6 см, MN = 10 см.