2. Треугольник ACB — прямоугольный (∠C = 90°), AC = CB = 3 см. Треугольник AMC имеет общую сторону AC с треугольником ACB, AM = CM = √6 см. Плоскости треугольников взаимно перпендикулярны. 1) Докажите, что MC ⟂ BC. 2) Найдите угол между MB и плоскостью ABC.

1) Доказательство.

1. Пусть O — середина AC. Поскольку AM = CM, треугольник AMC равнобедренный, поэтому MO ⟂ AC.
2. Плоскости AMC и ABC перпендикулярны и пересекаются по AC. Значит, прямая MO, лежащая в плоскости AMC и перпендикулярная AC, перпендикулярна плоскости ABC. Следовательно, проекция точки M на плоскость ABC — точка O.
3. Проекция MC на плоскость ABC — CO. Так как CO лежит на AC, а AC ⟂ BC, то BC перпендикулярна проекции MC. По теореме о трёх перпендикулярах MC ⟂ BC.

2) Угол между MB и плоскостью ABC.

1. Из равенства AM = CM следует, что AO = CO = 3/2 см. В прямоугольном треугольнике MOC: MO² = CM² − CO² = 6 − 9/4 = 15/4, поэтому MO = √15/2 см.
2. Проекция MB на плоскость ABC — BO. По теореме Пифагора BO² = BC² + CO² = 9 + 9/4 = 45/4. В прямоугольном треугольнике MBO получаем MB² = MO² + BO² = 15, то есть MB = √15 см.
3. Если φ — угол между MB и плоскостью ABC, то sin φ = MO/MB = (√15/2)/√15 = 1/2. Следовательно, φ = 30°.

Ответ: 1) MC ⟂ BC; 2) 30°.