2. Треугольник CDE задан координатами своих вершин: C(2; 2), D(6; 5), E(5; −2). а) Докажите, что △CDE — равнобедренный. б) Найдите биссектрису, проведённую из вершины C. в) Найдите косинус угла при вершине C.

а) Найдём длины сторон по формуле расстояния между двумя точками:

\(CD=\sqrt{(6-2)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=5\).

\(CE=\sqrt{(5-2)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{9+16}=5\).

Так как \(CD=CE\), треугольник равнобедренный, его основание — DE.

б) В равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины C проходит через середину основания DE. Середина DE:

\(M\left(\frac{6+5}{2};\frac{5+(-2)}{2}\right)=\left(\frac{11}{2};\frac{3}{2}\right)\).

Прямая CM проходит через C(2; 2) и M. Её угловой коэффициент равен \(\frac{\frac32-2}{\frac{11}{2}-2}=-\frac17\), поэтому уравнение биссектрисы: \(x+7y-16=0\). Её отрезок в треугольнике — CM; его длина \(CM=\sqrt{(\frac72)^2+(-\frac12)^2}=\frac{5\sqrt2}{2}\).

в) Векторы \(\overrightarrow{CD}=(4;3)\) и \(\overrightarrow{CE}=(3;-4)\). Их скалярное произведение: \(4\cdot3+3\cdot(-4)=0\). Поэтому угол C прямой, и \(\cos C=0\).

Ответ: а) \(CD=CE=5\); б) биссектриса лежит на прямой \(x+7y-16=0\), её длина в треугольнике \(\frac{5\sqrt2}{2}\); в) \(\cos C=0\).