2. Треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(−6; 1), N(2; 4), K(2; −2). а) Докажите, что ΔMNK — равнобедренный. б) Найдите высоту, проведённую из вершины M. в) Найдите косинус угла основания.

а) Найдём длины боковых сторон по формуле расстояния между точками:

\(MN=\sqrt{(2-(-6))^2+(4-1)^2}=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}\).

\(MK=\sqrt{(2-(-6))^2+(-2-1)^2}=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}\).

Так как \(MN=MK\), треугольник равнобедренный, его основание — \(NK\).

б) Прямая \(NK\) вертикальна и имеет уравнение \(x=2\). Перпендикуляр из \(M(-6;1)\) к ней горизонтален, поэтому его основание — точка \((2;1)\). Длина высоты равна \(2-(-6)=8\).

в) Угол основания при вершине \(N\) равен углу основания при вершине \(K\). Для угла \(N\) используем векторы \(\overrightarrow{NM}=(-8;-3)\) и \(\overrightarrow{NK}=(0;-6)\):

\(\cos N=\frac{\overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NK}}{|\overrightarrow{NM}|\,|\overrightarrow{NK}|}=\frac{18}{\sqrt{73}\cdot6}=\frac{3}{\sqrt{73}}\).

Ответ: а) \(MN=MK=\sqrt{73}\); б) высота из \(M\) равна \(8\); в) косинус угла основания равен \(\frac{3}{\sqrt{73}}\).