2. Упростите выражение: a) 3 / (a+3) + 3 / (a^2 - 3a) + 2a / (9 - a^2)

Решение:

Заданное выражение: \( \frac{3}{a+3} + \frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{2a}{9 - a^2} \). Для начала разложим знаменатели на множители:

\( a^2 - 3a = a(a-3) \)

\( 9 - a^2 = -(a^2 - 9) = -(a-3)(a+3) \)

Теперь перепишем выражение с разложенными знаменателями:

\[ \frac{3}{a+3} + \frac{3}{a(a-3)} + \frac{2a}{-(a-3)(a+3)} \]

Приведём к общему знаменателю, которым будет \( a(a-3)(a+3) \). Обратите внимание на знак минус перед последней дробью:

\[ \frac{3 \cdot a(a-3)}{a(a-3)(a+3)} + \frac{3 \cdot (a+3)}{a(a-3)(a+3)} - \frac{2a \cdot a}{a(a-3)(a+3)} \]

Выполним умножение в числителях:

\[ \frac{3a^2 - 9a}{a(a-3)(a+3)} + \frac{3a + 9}{a(a-3)(a+3)} - \frac{2a^2}{a(a-3)(a+3)} \]

Соберём все дроби под один знаменатель и приведём подобные слагаемые в числителе:

\[ \frac{3a^2 - 9a + 3a + 9 - 2a^2}{a(a-3)(a+3)} = \frac{(3a^2 - 2a^2) + (-9a + 3a) + 9}{a(a-3)(a+3)} = \frac{a^2 - 6a + 9}{a(a-3)(a+3)} \]

Заметим, что числитель \( a^2 - 6a + 9 \) является полным квадратом разности \( (a-3)^2 \).

\[ \frac{(a-3)^2}{a(a-3)(a+3)} \]

Сократим дробь на \( (a-3) \):

\[ \frac{a-3}{a(a+3)} \]

Ответ: \( \frac{a-3}{a(a+3)} \).