2. Упростите выражение, считая, что переменные принимают только положительные значения: а) \(\sqrt[6]{\frac{m^3n^4}{192}}:\sqrt[6]{\frac{m^{15}}{3n^8}}\); б) \(\sqrt[6]{b^7}\cdot\sqrt{b^{-3}}:\sqrt[3]{\sqrt[4]{b^8}}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Объединяем корни одинаковой степени и деление дробей: \[\sqrt[6]{\frac{m^3n^4}{192}}:\sqrt[6]{\frac{m^{15}}{3n^8}}=\sqrt[6]{\frac{m^3n^4}{192}\cdot\frac{3n^8}{m^{15}}}=\sqrt[6]{\frac{n^{12}}{64m^{12}}}.\] Так как \(m,n>0\), \(\sqrt[6]{n^{12}}=n^2\), \(\sqrt[6]{m^{12}}=m^2\), а \(\sqrt[6]{64}=2\). Получаем \(\frac{n^2}{2m^2}\).
б) Представляем множители степенями с основанием \(b\): \(\sqrt[6]{b^7}=b^{7/6}\), \(\sqrt{b^{-3}}=b^{-3/2}\), \(\sqrt[3]{\sqrt[4]{b^8}}=b^{8/(4\cdot3)}=b^{2/3}\), поскольку \(b>0\). Тогда \[b^{7/6}\cdot b^{-3/2}:b^{2/3}=b^{7/6-9/6-4/6}=b^{-1}=\frac1b.\]

Ответ: а) \(\frac{n^2}{2m^2}\); б) \(\frac1b\).