2 уровень: 1) $5^{x^2-2x-1}=25$; 2) $\sqrt{2^x}\cdot\sqrt{3^x}=36$; 3) $\left(\frac37\right)^{3x+1}=\left(\frac73\right)^{5x-3}$; 4) $\sqrt{3^x}=9$; 5) $9^{x^2-1}-36\cdot3^{x^2-1}+35=0$; 6) $5^{3x+1}+34\cdot5^{2x}=7\cdot5^x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2 уровень: 1) $5^{x^2-2x-1}=25$; 2) $\sqrt{2^x}\cdot\sqrt{3^x}=36$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $25=5^2$, получаем $x^2-2x-1=2$, то есть $x^2-2x-3=0$. Разложим: $(x-3)(x+1)=0$. Ответы: $x=3$ или $x=-1$.
$\sqrt{2^x}\cdot\sqrt{3^x}=\sqrt{6^x}=6^{x/2}$, а $36=6^2$. Следовательно, $x/2=2$, откуда $x=4$.
Поскольку $\frac73=\left(\frac37\right)^{-1}$, имеем $3x+1=-(5x-3)$. Тогда $8x=2$, поэтому $x=\frac14$.
$\sqrt{3^x}=3^{x/2}$, а $9=3^2$. Значит, $x/2=2$, откуда $x=4$.
Положим $t=3^{x^2-1}$, где $t>0$. Тогда $9^{x^2-1}=t^2$, и уравнение принимает вид $t^2-36t+35=0$. Разложение: $(t-1)(t-35)=0$. При $t=1$: $x^2-1=0$, поэтому $x=\pm1$. При $t=35$: $3^{x^2-1}=35$, откуда $x=\pm\sqrt{1+\log_3 35}$. Оба значения допустимы.
Разделим обе части на $5^x>0$: $5^{2x+1}+34\cdot5^x=7$. Пусть $y=5^x>0$. Получаем $5y^2+34y-7=0$, откуда $(5y-1)(y+7)=0$. С учётом $y>0$, $y=\frac15$, значит, $x=-1$.

Ответ: 1) $-1, 3$; 2) 4; 3) $\frac14$; 4) 4; 5) $\pm1,\;\pm\sqrt{1+\log_3 35}$; 6) $-1$.

2 уровень: 1) \(5^{x^2-2x-1}=25\); 2) \(\sqrt{2^x}\cdot\sqrt{3^x}=36\); 3) \(\left(\frac37\right)^{3x+1}=\left(\frac73\right)^{5x-3}\); 4) \(\sqrt{3^x}=9\); 5) \(9^{x^2-1}-36\cdot3^{x^2-1}+35=0\); 6) \(5^{3x+1}+34\cdot5^{2x}=7\cdot5^x\).