Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3 уровень: 1) \(2^{x^2+2x-0.5}=4\sqrt2\); 2) \(3\cdot5^{x+3}+2\cdot5^{x+1}=77\); 3) \(4^{x+1}+4^x=320\); 4)…Фото задания

Ответ:

  1. \(4\sqrt2=2^2\cdot2^{1/2}=2^{5/2}\). Приравниваем показатели: \(x^2+2x-\frac12=\frac52\), то есть \(x^2+2x-3=0\). Отсюда \((x+3)(x-1)=0\), поэтому \(x=-3\) или \(x=1\).
  2. Вынесем \(5^{x+1}\): \(5^{x+1}(3\cdot25+2)=77\), то есть \(77\cdot5^{x+1}=77\). Следовательно, \(5^{x+1}=1\), откуда \(x=-1\).
  3. Вынесем \(4^x\): \(17\cdot4^x=320\), поэтому \(4^x=\frac{320}{17}\). Отсюда \(x=\log_4\frac{320}{17}\).
  4. Перенесём слагаемые: \(4^{x-3}+2^{2x-1}=3^{x+0.5}+3^{x-0.5}\). Левая часть равна \(33\cdot2^{2x-6}\), правая — \(4\cdot3^{x-0.5}\). После упрощения: \(\left(\frac43\right)^x=\frac{256}{33\sqrt3}\). Поэтому \(x=\log_{4/3}\frac{256}{33\sqrt3}\).
  5. Перенесём слагаемые: \(5^{2x-1}-5^{2x}+2^{2x}+2^{2x+2}=0\). Тогда \(-4\cdot5^{2x-1}+5\cdot2^{2x}=0\), откуда \(\left(\frac{25}{4}\right)^x=\frac{25}{4}\). Следовательно, \(x=1\).
  6. Разделим на \(6^x>0\) и положим \(t=\left(\frac32\right)^x>0\): \(3\left(\frac23\right)^x+2\left(\frac32\right)^x=5\), то есть \(\frac3t+2t=5\). Получаем \(2t^2-5t+3=0\), откуда \(t=1\) или \(t=\frac32\). Значит, \(x=0\) или \(x=1\).
  7. Разделим на \(27^x>0\) и положим \(t=\left(\frac23\right)^x>0\). Получаем \(t^3+t=2\). Функция \(t^3+t\) строго возрастает, а \(t=1\) является решением, поэтому оно единственное. Значит, \(\left(\frac23\right)^x=1\), откуда \(x=0\).

Ответ: 1) \(-3, 1\); 2) \(-1\); 3) \(\log_4\frac{320}{17}\); 4) \(\log_{4/3}\frac{256}{33\sqrt3}\); 5) 1; 6) 0, 1; 7) 0.