2. В △ABC проведена высота AH, равная √15. AC = 4, AB = BC. Найдите cos A.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AHC\):

\(HC=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{15})^2}=\sqrt{16-15}=1\).

Пусть \(BH=x\). Тогда \(BC=x+1\).

Так как \(AB=BC\), а треугольник \(ABH\) прямоугольный:

\(AB^2=AH^2+BH^2=15+x^2\).

С другой стороны, \(AB^2=BC^2=(x+1)^2\). Поэтому:

\(15+x^2=(x+1)^2\),

\(15+x^2=x^2+2x+1\),

\(x=7\), следовательно, \(AB=BC=8\).

По теореме косинусов для угла \(A\):

\(\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{8^2+4^2-8^2}{2\cdot8\cdot4}=\frac{16}{64}=\frac14\).

Ответ: \(\frac14\).