2. В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD равны и пересекаются в точке O, AO = CO и BO = DO. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Так как AO = CO и BO = DO, точка O является серединой обеих диагоналей. Следовательно, диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, а значит, ABCD — параллелограмм.

В параллелограмме с равными диагоналями все углы прямые. Действительно, пусть соседние стороны равны a и b, а угол между ними равен α. По теореме косинусов для диагоналей:

AC² = a² + b² + 2ab cos α, BD² = a² + b² − 2ab cos α.

Так как AC = BD, получаем cos α = 0, откуда α = 90°. Следовательно, ABCD — прямоугольник.