2. В гараже находилось 340 автомашин трех марок. После того как 15% автомашин марки «А» и 20% автомашин марки «Б» уехали на ремонт, в гараже осталось 276 автомашин. Сколько автомашин каждой марки было в гараже первоначально, если марка «В» составляет 25% от общего числа автомашин?

Решение:

Всего автомашин было 340.

Машины марки «В» составляют 25% от общего числа:

\( 340 \cdot 0.25 = 340 \cdot \frac{1}{4} = 85 \) машин марки «В».

Оставшиеся машины — марки «А» и «Б»:

\( 340 - 85 = 255 \) машин марок «А» и «Б».

Пусть \( A \) — количество машин марки «А», \( B \) — количество машин марки «Б».

\( A + B = 255 \).

Уехало на ремонт 15% машин марки «А», осталось \( 100% - 15% = 85% \) машин марки «А».

Уехало на ремонт 20% машин марки «Б», осталось \( 100% - 20% = 80% \) машин марки «Б».

Всего осталось \( 276 \) машин.

Уравнение:

\( 0.85A + 0.80B = 276 \).

Из первого уравнения выразим \( B \): \( B = 255 - A \).

Подставим во второе уравнение:

\( 0.85A + 0.80(255 - A) = 276 \)

\( 0.85A + 204 - 0.80A = 276 \)

\( 0.05A = 276 - 204 \)

\( 0.05A = 72 \)

\( A = \frac{72}{0.05} = \frac{7200}{5} = 1440 \) — это ошибка, так как \( A \) должно быть меньше 255.

Проверим условие. Количество машин марки «А» и «Б» вместе — 255. Если \( A=1440 \), это неверно.

Пересчитаем:

\( 0.85A + 0.80B = 276 \)

\( A + B = 255 \)

Умножим второе уравнение на 0.80:

\( 0.80A + 0.80B = 255 \cdot 0.80 = 204 \)

Вычтем это уравнение из первого:

\( (0.85A + 0.80B) - (0.80A + 0.80B) = 276 - 204 \)

\( 0.05A = 72 \)

\( A = \frac{72}{0.05} = 1440 \). Опять та же ошибка. Проверим расчеты.

\( 0.80 \cdot 255 = 8 \cdot 25.5 = 204 \) - верно.

\( 276 - 204 = 72 \) - верно.

\( 72 / 0.05 = 72 / (5/100) = 72 * (100/5) = 72 * 20 = 1440 \) - верно.

Возможно, в условии задачи есть ошибка, так как количество машин марки А получается больше общего числа машин марки А и Б.

Давайте предположим, что \(A\) и \(B\) — это *проценты* от общего числа, а не абсолютные значения.

Но по условию \( A + B = 255 \), то есть это абсолютные значения.

Попробуем решить иначе:

Пусть \( x \) — число машин марки «А», \( y \) — число машин марки «Б». \( x + y = 255 \).

Осталось \( 0.85x \) машин марки «А» и \( 0.8y \) машин марки «Б».

\( 0.85x + 0.8y = 276 \)

Умножим первое уравнение на 0.8:

\( 0.8x + 0.8y = 255 \cdot 0.8 = 204 \)

Вычтем это из второго уравнения:

\( (0.85x + 0.8y) - (0.8x + 0.8y) = 276 - 204 \)

\( 0.05x = 72 \)

\( x = \frac{72}{0.05} = 1440 \).

Проблема сохраняется. Перепроверим условие задачи.

«В гараже находилось 340 автомашин трех марок. После того как 15% автомашин марки «А» и 20% автомашин марки «Б» уехали на ремонт, в гараже осталось 276 автомашин. Сколько автомашин каждой марки было в гараже первоначально, если марка «В» составляет 25% от общего числа автомашин?»

Количество машин марки «В» = \( 340 \cdot 0.25 = 85 \).

Количество машин марок «А» и «Б» = \( 340 - 85 = 255 \).

Количество уехавших машин = \( 340 - 276 = 64 \).

Пусть \( A \) — количество машин марки «А», \( B \) — количество машин марки «Б».

\( 0.15A + 0.20B = 64 \).

У нас есть система:

\( A + B = 255 \)

\( 0.15A + 0.20B = 64 \)

Умножим первое уравнение на 0.15:

\( 0.15A + 0.15B = 255 \cdot 0.15 = 38.25 \)

Вычтем это уравнение из второго:

\( (0.15A + 0.20B) - (0.15A + 0.15B) = 64 - 38.25 \)

\( 0.05B = 25.75 \)

\( B = \frac{25.75}{0.05} = \frac{2575}{5} = 515 \).

Снова получается число, превышающее общее количество машин марок «А» и «Б» (255).

Это указывает на некорректность исходных данных задачи.

Однако, если предположить, что \( A \) и \( B \) — это *изначальное* количество, и \( 0.15A \) и \( 0.20B \) — это уехавшие машины, а \( A+B = 255 \) (суммарное изначальное количество А и Б), то расчёты выше должны быть верными, если бы данные были корректны.

Попробуем найти ошибку в себе:

\( A+B = 255 \)

\( 0.15A + 0.20B = 64 \)

Из первого: \( A = 255 - B \).

Подставим во второе:

\( 0.15(255 - B) + 0.20B = 64 \)

\( 38.25 - 0.15B + 0.20B = 64 \)

\( 0.05B = 64 - 38.25 \)

\( 0.05B = 25.75 \)

\( B = \frac{25.75}{0.05} = 515 \).

Ответ \( B=515 \) некорректен, так как \( A+B=255 \).

Если бы \( A=1440 \) и \( B=515 \), то \( A+B = 1955 \), что также неверно.

Проверим условие: «сколько автомашин каждой марки было в гараже первоначально».

Единственное, что остается — предположить, что процент уехавших машин относится к *оставшимся*.

Но это противоречит формулировке.

Предположим, что общее число машин марок «А» и «Б» перед ремонтом было \( X \), и \( 15 \% \) от \( X \) уехало, а \( 20 \% \) от \( X \) уехало. Это также неверно, так как марки разные.

Если условие задачи верно, то:

\( A \) - исходное количество машин марки А.

\( B \) - исходное количество машин марки Б.

\( V \) - исходное количество машин марки В = 85.

\( A + B + V = 340 \) => \( A + B = 340 - 85 = 255 \).

Машин осталось: \( (A - 0.15A) + (B - 0.20B) + V = 276 \)

\( 0.85A + 0.80B + 85 = 276 \)

\( 0.85A + 0.80B = 276 - 85 = 191 \).

Теперь система:

\( A + B = 255 \)

\( 0.85A + 0.80B = 191 \)

Умножим первое уравнение на 0.80:

\( 0.80A + 0.80B = 255 \cdot 0.80 = 204 \)

Вычтем это из второго уравнения:

\( (0.85A + 0.80B) - (0.80A + 0.80B) = 191 - 204 \)

\( 0.05A = -13 \)

\( A = \frac{-13}{0.05} = -260 \).

Получаем отрицательное количество машин, что также некорректно.

Сделаем вывод, что условия задачи противоречивы.

Если всё же принять, что \( 15 \% \) и \( 20 \% \) — это уехавшие машины, и \( A+B=255 \) и \( 0.15A + 0.20B = 64 \), то мы получаем \( B=515 \) и \( A = 255 - 515 = -260 \).

Если принять, что \( 15 \% \) и \( 20 \% \) — это *оставшиеся* машины, и \( A+B=255 \) и \( 0.15A + 0.20B = 276 \), то мы получаем \( A = -260 \) и \( B = 515 \).

Остается последний вариант: \( 15 \% \) машин марки А уехало, \( 20 \% \) машин марки Б уехало. И общее количество машин, которое уехало, составило \( 340 - 276 = 64 \). И \( A+B = 255 \).

\( 0.15A + 0.20B = 64 \).

Допустим, в условии ошибка, и \( 20 \% \) — это \( 15 \% \) или \( 25 \% \).

Если \( 0.15A + 0.15B = 64 \), то \( 0.15(A+B) = 0.15 \times 255 = 38.25 \). \( 64 \neq 38.25 \).

Если \( 0.15A + 0.25B = 64 \). Умножим \( A+B=255 \) на 0.15: \( 0.15A + 0.15B = 38.25 \). Вычтем: \( 0.10B = 64 - 38.25 = 25.75 \). \( B = 257.5 \). Не целое.

Если \( 0.10A + 0.20B = 64 \) (10% уехало марки А). Умножим \( A+B=255 \) на 0.10: \( 0.10A + 0.10B = 25.5 \). Вычтем: \( 0.10B = 64 - 25.5 = 38.5 \). \( B = 385 \). Неверно.

Если \( 0.20A + 0.20B = 64 \). \( 0.20(A+B) = 0.20 \times 255 = 51 \). \( 64 \neq 51 \).

В задаче явно ошибка в числах.

Если предположить, что \( 15 \% \) от \( A \) и \( 20 \% \) от \( B \) *остались* (что нелогично), то \( 0.15A + 0.20B = 276 \), но \( A+B=255 \). Тогда \( 0.15(255-B) + 0.20B = 276 \) => \( 38.25 - 0.15B + 0.20B = 276 \) => \( 0.05B = 237.75 \) => \( B = 4755 \).

Единственный логичный вариант — это когда \( 0.15A \) и \( 0.20B \) — уехавшие машины, и их суммарное число равно \( 340 - 276 = 64 \).

\( A + B = 255 \)

\( 0.15A + 0.20B = 64 \)

Из первого: \( A = 255 - B \).

\( 0.15(255 - B) + 0.20B = 64 \)

\( 38.25 - 0.15B + 0.20B = 64 \)

\( 0.05B = 25.75 \)

\( B = 515 \).

\( A = 255 - 515 = -260 \).

Условие задачи не имеет решения в положительных числах.

Ответ: В условии задачи содержатся противоречивые данные, что делает невозможным нахождение положительных значений количества автомашин каждой марки.