№2. В окружности с центром О проведена хорда АВ перпендикулярная диаметру КМ. АВ и КМ пересекаются в точке С. Вычислите: 1) углы ДАОВ, если ∠COB = 32°; 2) периметр ДАОВ, если радиус окружности равен 5,5 см, а отрезок АС = 4 см.

Решение:

1. Углы ДАОВ:
   • Так как диаметр КМ перпендикулярен хорде АВ, то угол ∠COB и ∠COA — смежные. Сумма смежных углов равна 180°. \( \angle COA = 180° - \angle COB = 180° - 32° = 148° \)
   • Треугольники ΔCOA и ΔCOB равнобедренные, так как ОС — общий катет, а OA = OB = радиус. Поэтому углы при основании равны. \( \angle CAO = \angle CBO = \frac{180° - 32°}{2} = \frac{148°}{2} = 74° \)
   • Углы ΔAOB: \( \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC \) (если C лежит между O и M) или \( \angle AOB = 180° \) (если C — центр O). По рисунку C находится между O и M. \( \angle AOB = 180° \) (развернутый угол).
   • В равнобедренном треугольнике ΔAOB углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - \angle AOB}{2} \). Но это неверно, так как ΔAOB не обязательно равнобедренный.
   • Правильный подход: Так как КМ ⊥ АВ, то C — середина АВ. В ΔCOB: \( \angle OCB = 90° \), \( \angle COB = 32° \). \( \angle CBO = 180° - 90° - 32° = 58° \).
   • Так как ΔAOB — равнобедренный (OA=OB - радиусы), то \( \angle OAB = \angle OBA = 58° \).
   • \( \angle AOB = 180° - (\angle OAB + \angle OBA) = 180° - (58° + 58°) = 180° - 116° = 64° \).
   • Ответ: \( \angle OAB = \angle OBA = 58° \), \( \angle AOB = 64° \).
2. Периметр ДАОВ:
   • Радиус окружности \( R = 5.5 \text{ см} \).
   • OA = OB = 5.5 см.
   • Так как КМ ⊥ АВ, то С — середина АВ. АС = 4 см, значит АВ = 2 * АС = 2 * 4 см = 8 см.
   • Периметр ΔAOB: P = OA + OB + AB = 5.5 см + 5.5 см + 8 см = 19 см.

Ответ: 1) ∠OAB = ∠OBA = 58°, ∠AOB = 64°; 2) 19 см.