Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2. В окружности с центром О проведены диаметры AD и BC. Угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.Фото задания

Ответ:

Дано:

  • Окружность с центром O.
  • AD и BC — диаметры.
  • \[\angle OCD = 30^{\circ}\]

Решение:

  1. \[\triangle OCD\] — равнобедренный, так как OC и OD — радиусы окружности.
  2. Следовательно, \[ \angle ODC = \angle OCD = 30^{\circ} \]
  3. \[\angle COD = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\]
  4. Углы \[\angle COD\] и \[\angle OAB\] — вертикальные, так как AD и BC — диаметры, пересекающиеся в точке O.
  5. Следовательно, \[ \angle OAB = \angle COD \]
  6. Ошибка в рассуждении: Углы COD и OAB не являются вертикальными. Вертикальные углы - это противоположные углы, образованные пересечением двух прямых. В данном случае AD и BC пересекаются в точке O, поэтому вертикальными углами являются \[\angle AOC\] и \[\angle BOD\]; а также \[\angle AOB\] и \[\angle COD\].
  7. Пересмотрим решение:
  8. \[\triangle OAC\] — равнобедренный (OA = OC — радиусы).
  9. \[\angle OAC = \angle OCA\]
  10. \[\angle AOC\] — смежный с \[\angle COD\]: \[\angle AOC = 180^{\circ} - \angle COD = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\]
  11. В равнобедренном \[\triangle OAC\]: \[\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^{\circ} - \angle AOC}{2} = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}\]
  12. Другой путь:
  13. \[\angle OAB\] и \[\angle ODC\] — накрест лежащие углы при параллельных BC и AD (это неверно, BC и AD — это прямые, а не параллельные линии).
  14. \[\angle OAB\] и \[\angle ODC\] — накрест лежащие углы при секущей AD для параллельных прямых OC и BD (нет информации о параллельности).
  15. Вернемся к равнобедренным треугольникам:
  16. \[\triangle OAD\] — равнобедренный (OA = OD — радиусы).
  17. \[\angle OAD = \angle ODA\]
  18. \[\triangle OBC\] — равнобедренный (OB = OC — радиусы).
  19. \[\angle OBC = \angle OCB\]
  20. Из \[\angle OCD = 30^{\circ}\] и \[\triangle OBC\] равнобедренного, следует \[\angle OBC = \angle OCB = 30^{\circ}\]
  21. \[\angle BOC = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\]
  22. \[\angle AOB\] — смежный с \[\angle BOC\]: \[\angle AOB = 180^{\circ} - \angle BOC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\]
  23. \[\triangle OAB\] — равнобедренный (OA = OB — радиусы).
  24. \[\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}\]

Ответ: 60